Réflexions sur la théorie des ensembles - Historique des versions

1001nuits: /* Notes */

1001nuits — Wed, 20 May 2009 20:57:54 GMT

Notes

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1001nuits: publish

1001nuits — Sun, 09 Dec 2007 16:11:54 GMT

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1001nuits: /* La réduction dimensionnelle */

1001nuits — Sun, 09 Dec 2007 16:10:05 GMT

La réduction dimensionnelle

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	Considérons un autre exemple lié à la réduction dimensionnelle. Dans un certain nombre de problèmes mathématiques, le problème est si complexe que l'on projette un certain nombre de données sur un espace de dimension plus faible, pour en quelque sorte en faire une "coupe"<ref>On pourrait citer les suites étudiées par Poincaré dans le contexte du problème des trois corps.</ref>. Les objets mathématiques sont alors étudiés dans ce qu'ils sont au sein de cette projection, mais la raison d'être de cette étude réside ''en dehors de cette projection'' dont l'utilité est d'éclairer le modèle global par des outils plus limités à des cas locaux.		Considérons un autre exemple lié à la réduction dimensionnelle. Dans un certain nombre de problèmes mathématiques, le problème est si complexe que l'on projette un certain nombre de données sur un espace de dimension plus faible, pour en quelque sorte en faire une "coupe"<ref>On pourrait citer les suites étudiées par Poincaré dans le contexte du problème des trois corps.</ref>. Les objets mathématiques sont alors étudiés dans ce qu'ils sont au sein de cette projection, mais la raison d'être de cette étude réside ''en dehors de cette projection'' dont l'utilité est d'éclairer le modèle global par des outils plus limités à des cas locaux.

-	En ce sens, dans bon nombre de problèmes, c'est l'''intention première'' qui compte dans ce que nous comptons démontrer et c'est cette même intention qui nous conduit à simplifier pour comprendre, pour ensuite re-généraliser et "espérer" en tirer une compréhension plus ~~vastes~~<ref>Cf. [[structure et dynamique des erreurs conceptuelles]] pour voir que ce mouvement de re-généralisation n'est pas sans danger.</ref>. Nous pouvons donc obtenir des sous-problèmes très lointains du problème principal étudié.	+	En ce sens, dans bon nombre de problèmes, c'est l'''intention première'' qui compte dans ce que nous comptons démontrer et c'est cette même intention qui nous conduit à simplifier pour comprendre, pour ensuite re-généraliser et "espérer" en tirer une compréhension plus vaste<ref>Cf. [[structure et dynamique des erreurs conceptuelles]] pour voir que ce mouvement de re-généralisation n'est pas sans danger.</ref>. Nous pouvons donc obtenir des sous-problèmes très lointains du problème principal étudié.

	Prenons un exemple : si nous tentons de résoudre un problème sur une sphère en prenant le plan tangent en un point particulier de la sphère. Dans une logique purement à 2 dimensions, il ne s'agit que d'un point, alors que ce point est le point commun entre le plan sur lequel nous travaillons et la sphère que nous avons projetée. Ainsi, selon le contexte, un point sur un plan peut émaner d'une représentation plus vaste. Dans ce contexte, le point n'est plus seulement un point, il peut être le point d'impact d'une droite et du plan ou le point de tangence d'une sphère et du plan considéré.		Prenons un exemple : si nous tentons de résoudre un problème sur une sphère en prenant le plan tangent en un point particulier de la sphère. Dans une logique purement à 2 dimensions, il ne s'agit que d'un point, alors que ce point est le point commun entre le plan sur lequel nous travaillons et la sphère que nous avons projetée. Ainsi, selon le contexte, un point sur un plan peut émaner d'une représentation plus vaste. Dans ce contexte, le point n'est plus seulement un point, il peut être le point d'impact d'une droite et du plan ou le point de tangence d'une sphère et du plan considéré.

1001nuits: /* Un problème de notation */

1001nuits — Sun, 09 Dec 2007 16:09:11 GMT

Un problème de notation

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	et donc quel est le véritable "sens" du symbole "=".		et donc quel est le véritable "sens" du symbole "=".

-	L'analogie avec les entiers naturels ou avec les réels est, ici, totalement insuffisante dès lors que l'on utilise des termes du langage courant (fini lui aussi). Le prédicat "un arbre" = "un arbre" ne veut pas dire grand chose si l'on ne le précise pas ~~par~~ le contexte dans lequel on travaille. Il est donc évident que, sauf cas très particulier (comme dans les hypothèses de la logique de ZFC), une variable quelconque x n'a pas de raison ''a priori'' d'être égale à elle-même.	+	L'analogie avec les entiers naturels ou avec les réels est, ici, totalement insuffisante dès lors que l'on utilise des termes du langage courant (fini lui aussi). Le prédicat "un arbre" = "un arbre" ne veut pas dire grand chose si l'on ne le précise pas le contexte dans lequel on travaille. Il est donc évident que, sauf cas très particulier (comme dans les hypothèses de la logique de ZFC), une variable quelconque x n'a pas de raison ''a priori'' d'être égale à elle-même.

	==== La réduction dimensionnelle ====		==== La réduction dimensionnelle ====

1001nuits le 9 décembre 2007 à 16:07

1001nuits — Sun, 09 Dec 2007 16:07:53 GMT

(Différences entre les versions)

1001nuits: /* Une ambiguïté sur la notion de variable et de constante */

1001nuits — Sun, 09 Dec 2007 15:16:20 GMT

Une ambiguïté sur la notion de variable et de constante

← Version précédente		Version du 9 décembre 2007 à 15:16
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	Ces sous-entendu sont à la base de nombreuses erreurs de logique, car elles peuvent changer profondément le résultat de l'évaluation du prédicat, même dans le cas où nous entendons une logique ternaire de type "vrai", "faux" ou "indéterminé".		Ces sous-entendu sont à la base de nombreuses erreurs de logique, car elles peuvent changer profondément le résultat de l'évaluation du prédicat, même dans le cas où nous entendons une logique ternaire de type "vrai", "faux" ou "indéterminé".

-	Reprenons l'exemple de la fonction f<sub>0</sub>. Si nous postulons : 1/0 = ∞, cela signifie que nous définissions ∞ comme une constante de l'ensemble des constantes C de la théorie de calcul des prédicats. En ce sens, ∞<sub>&alefsym;</sub> et ∞<sub>&real;</sub> n'ont aucune raison d'être des constantes identiques, des objets identiques pourrait-on dire. Ce qui signifie que lors de l'utilisation du symbole &~~alefsym~~;, si le contexte n'est pas précisé, nous pouvons entendre ce symbole comme une constante du langage logique L (approche ZFC) alors qu'il peut être vu comme une variable dudit système, si ce système logique L se décline en plusieurs systèmes.	+	Reprenons l'exemple de la fonction f<sub>0</sub>. Si nous postulons : 1/0 = ∞, cela signifie que nous définissions ∞ comme une constante de l'ensemble des constantes C de la théorie de calcul des prédicats. En ce sens, ∞<sub>&alefsym;</sub> et ∞<sub>&real;</sub> n'ont aucune raison d'être des constantes identiques, des objets identiques pourrait-on dire. Ce qui signifie que lors de l'utilisation du symbole ∞, si le contexte n'est pas précisé, nous pouvons entendre ce symbole comme une constante du langage logique L (approche ZFC) alors qu'il peut être vu comme une variable dudit système, si ce système logique L se décline en plusieurs systèmes.

	Cet exemple mathématique n'est que l'illustration de problèmes plus immédiats que l'on trouve dans la logique usuelle. Dans les prédicats de la logique commune, source de la logique formalisée mathématique, la définition des variables et des constantes est loin d'être une évidence. En effet, prenons le prédicat suivant :		Cet exemple mathématique n'est que l'illustration de problèmes plus immédiats que l'on trouve dans la logique usuelle. Dans les prédicats de la logique commune, source de la logique formalisée mathématique, la définition des variables et des constantes est loin d'être une évidence. En effet, prenons le prédicat suivant :

1001nuits: /* Une ambiguïté sur la notion de variable et de constante */

1001nuits — Sun, 09 Dec 2007 15:15:46 GMT

Une ambiguïté sur la notion de variable et de constante

← Version précédente		Version du 9 décembre 2007 à 15:15
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	Ces sous-entendu sont à la base de nombreuses erreurs de logique, car elles peuvent changer profondément le résultat de l'évaluation du prédicat, même dans le cas où nous entendons une logique ternaire de type "vrai", "faux" ou "indéterminé".		Ces sous-entendu sont à la base de nombreuses erreurs de logique, car elles peuvent changer profondément le résultat de l'évaluation du prédicat, même dans le cas où nous entendons une logique ternaire de type "vrai", "faux" ou "indéterminé".

-	Reprenons l'exemple de la fonction f<sub>0</sub>. Si nous postulons : 1/0 = ∞, cela signifie que nous définissions ∞ comme une constante de l'ensemble des constantes C de la théorie de calcul des prédicats. En ce sens, ∞<sub>&alefsym;</sub> et ∞<sub>&real;</sub> n'ont aucune raison d'être des constantes identiques, des objets identiques pourrait-on dire. Ce qui signifie que lors de l'utilisation du symbole &~~alfsym~~;, si le contexte n'est pas précisé, nous pouvons entendre ce symbole comme une constante du langage logique L (approche ZFC) alors qu'il peut être vu comme une variable dudit système, si ce système logique L se décline en plusieurs systèmes.	+	Reprenons l'exemple de la fonction f<sub>0</sub>. Si nous postulons : 1/0 = ∞, cela signifie que nous définissions ∞ comme une constante de l'ensemble des constantes C de la théorie de calcul des prédicats. En ce sens, ∞<sub>&alefsym;</sub> et ∞<sub>&real;</sub> n'ont aucune raison d'être des constantes identiques, des objets identiques pourrait-on dire. Ce qui signifie que lors de l'utilisation du symbole &alefsym;, si le contexte n'est pas précisé, nous pouvons entendre ce symbole comme une constante du langage logique L (approche ZFC) alors qu'il peut être vu comme une variable dudit système, si ce système logique L se décline en plusieurs systèmes.

	Cet exemple mathématique n'est que l'illustration de problèmes plus immédiats que l'on trouve dans la logique usuelle. Dans les prédicats de la logique commune, source de la logique formalisée mathématique, la définition des variables et des constantes est loin d'être une évidence. En effet, prenons le prédicat suivant :		Cet exemple mathématique n'est que l'illustration de problèmes plus immédiats que l'on trouve dans la logique usuelle. Dans les prédicats de la logique commune, source de la logique formalisée mathématique, la définition des variables et des constantes est loin d'être une évidence. En effet, prenons le prédicat suivant :

1001nuits: /* Une ambiguïté sur la notion de variable et de constante */

1001nuits — Sun, 09 Dec 2007 15:15:24 GMT

Une ambiguïté sur la notion de variable et de constante

← Version précédente		Version du 9 décembre 2007 à 15:15
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	Ces sous-entendu sont à la base de nombreuses erreurs de logique, car elles peuvent changer profondément le résultat de l'évaluation du prédicat, même dans le cas où nous entendons une logique ternaire de type "vrai", "faux" ou "indéterminé".		Ces sous-entendu sont à la base de nombreuses erreurs de logique, car elles peuvent changer profondément le résultat de l'évaluation du prédicat, même dans le cas où nous entendons une logique ternaire de type "vrai", "faux" ou "indéterminé".

-	Reprenons l'exemple de la fonction f<sub>0</sub>. Si nous postulons : 1/0 = ∞, cela signifie que nous définissions ∞ comme une constante de l'ensemble des constantes C de la théorie de calcul des prédicats. En ce sens, ∞<sub>&~~alfsym~~;</sub> et ∞<sub>&real;</sub> n'ont aucune raison d'être des constantes identiques, des objets identiques pourrait-on dire. Ce qui signifie que lors de l'utilisation du symbole &alfsym;, si le contexte n'est pas précisé, nous pouvons entendre ce symbole comme une constante du langage logique L (approche ZFC) alors qu'il peut être vu comme une variable dudit système, si ce système logique L se décline en plusieurs systèmes.	+	Reprenons l'exemple de la fonction f<sub>0</sub>. Si nous postulons : 1/0 = ∞, cela signifie que nous définissions ∞ comme une constante de l'ensemble des constantes C de la théorie de calcul des prédicats. En ce sens, ∞<sub>&alefsym;</sub> et ∞<sub>&real;</sub> n'ont aucune raison d'être des constantes identiques, des objets identiques pourrait-on dire. Ce qui signifie que lors de l'utilisation du symbole &alfsym;, si le contexte n'est pas précisé, nous pouvons entendre ce symbole comme une constante du langage logique L (approche ZFC) alors qu'il peut être vu comme une variable dudit système, si ce système logique L se décline en plusieurs systèmes.

	Cet exemple mathématique n'est que l'illustration de problèmes plus immédiats que l'on trouve dans la logique usuelle. Dans les prédicats de la logique commune, source de la logique formalisée mathématique, la définition des variables et des constantes est loin d'être une évidence. En effet, prenons le prédicat suivant :		Cet exemple mathématique n'est que l'illustration de problèmes plus immédiats que l'on trouve dans la logique usuelle. Dans les prédicats de la logique commune, source de la logique formalisée mathématique, la définition des variables et des constantes est loin d'être une évidence. En effet, prenons le prédicat suivant :

1001nuits: /* Introduction de la notion de contexte */

1001nuits — Sun, 09 Dec 2007 15:14:33 GMT

Introduction de la notion de contexte

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Ligne 136 :		Ligne 136 :
	* f<sub>2</sub>(x) = 2x ;		* f<sub>2</sub>(x) = 2x ;

-	f<sub>1</sub> et f<sub>2</sub> n'ont pas la même nature, car logiquement, elles n'opèrent pas sur les mêmes catégories de variables. Elles sont toutes les deux des bijections mais opérant sur des ensembles différents. Il n'y a donc pas de raison ''a priori'' pour que l'une et l'autre puissent avoir des propriétés partagées.	+	f<sub>1</sub> et f<sub>2</sub> n'ont pas la même nature, car logiquement, elles n'opèrent pas sur les mêmes catégories de variables. Elles sont toutes les deux des "bijections" mais opérant sur des ensembles différents. En ce sens, f<sub>1</sub> est une bijection et f<sub>2</sub> est une "bijection infinie", ce qui est un objet d'une nature profondément différente. Il n'y a donc pas de raison ''a priori'' pour que l'une et l'autre puissent avoir des propriétés partagées.

	=== Une ambiguïté sur la notion de variable et de constante ===		=== Une ambiguïté sur la notion de variable et de constante ===

1001nuits: /* Introduction de la notion de contexte */

1001nuits — Sun, 09 Dec 2007 15:13:13 GMT

Introduction de la notion de contexte

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Ligne 130 :		Ligne 130 :
	* ne pas "passer à l'infini" aussi rapidement que cela, et donc typer les objets de type fonction différemment selon que ces derniers portent sur des ensembles finis ou infinis.		* ne pas "passer à l'infini" aussi rapidement que cela, et donc typer les objets de type fonction différemment selon que ces derniers portent sur des ensembles finis ou infinis.

-	Pour soutenir le second point, considérons les deux fonctions suivantes :	+	Pour soutenir le second point, considérons les deux fonctions suivantes pour x entier :
	* f<sub>1</sub> : [0, 10] → 2[0, 10],		* f<sub>1</sub> : [0, 10] → 2[0, 10],
	* f<sub>1</sub>(x) = 2x ;		* f<sub>1</sub>(x) = 2x ;