Vers une topologie des concepts

Un article de Caverne des 1001 nuits.

Version du 11 décembre 2007 à 10:08 (modifier) 1001nuits (Discuter | Contributions) m (→En cours) ← Différence précédente		Version du 11 décembre 2007 à 10:28 (modifier) (défaire) 1001nuits (Discuter | Contributions) m (→En cours) Différence suivante →
Ligne 26 :		Ligne 26 :
	=== ℵ "est" un espace de Hilbert ===		=== ℵ "est" un espace de Hilbert ===
-	* H espace engendré par P, base des nombres premiers.	+	* H espace engendré par P, base des nombres premiers (hormis 1).
	* P est une famille orthonormale de H. P est libre.		* P est une famille orthonormale de H. P est libre.
	* &forall; x dans H, &exist; (k<sub>i</sub>)<sub>i &isin; &alefsym;</sub> : x = &prod;<sub>i &isin; &alefsym;</sub> p<sub>i</sub><sup>k<sub>i</sub></sup>.		* &forall; x dans H, &exist; (k<sub>i</sub>)<sub>i &isin; &alefsym;</sub> : x = &prod;<sub>i &isin; &alefsym;</sub> p<sub>i</sub><sup>k<sub>i</sub></sup>.
Ligne 36 :		Ligne 36 :
	Tout n de &alefsym; peut être associé à un vecteur de composantes sur P.		Tout n de &alefsym; peut être associé à un vecteur de composantes sur P.
-	On définit la fonction f<sub>1, M</sub> :	+	On définit la fonction f<sub>1</sub> :
-	* f<sub>1, M</sub> : &alefsym; &rarr; &alefsym;<sup>M</sup>,	+	* f<sub>1</sub> : &alefsym; &rarr; &alefsym;<sup>&infin;</sup>,
-	* n &rarr; (n<sub>1</sub>, ..., n<sub>M</sub>) tels que n = &prod;<sub>i &isin; [0..M]</sub>P<sub>i</sub><sup>n<sub>i</sub></sup>.	+	* n &rarr; (n<sub>1</sub>, ..., n<sub>M</sub>, 0, 0, ...) tels que n = &prod;<sub>i &isin; &alefsym;</sub>P<sub>i</sub><sup>n<sub>i</sub></sup>.
		+
		+	f<sub>1</sub> est la première transformation.
		+
		+	Cas particulier. n a M composantes sur P, n<sub>i</sub>. Chaque n<sub>i</sub> a M<sub>i</sub> composantes sur P. Cela exhibe le problème de définition entre composante et vecteur. Nous sommes dans un espace qui est spécial, car les "scalaires" sont aussi des vecteurs du même espace. Donc l'algèbre linéaire ne s'applique pas vraiment. Cela montre aussi le problème de la "nature" de l'opérateur.
		+
		+	Soit un espace E. On a &exist;! (n<sub>i</sub>) : n &rarr; (n<sub>i</sub>). n est un "arbre".
		+
		+	Exemple : n = 2<sup>1001</sup> + 3<sup>250</sup> + 13<sup>122</sup> + 17<sup>24</sup>.
		+
	=== Formalisation ===		=== Formalisation ===

---

Version du 11 décembre 2007 à 10:28

Sommaire 1 L'aspect multidimensionnel des concepts 2 Formalisation des liens entre concepts 3 Difficultés de formalisation 4 Les lois d'échelles en concepts 5 En cours 5.1 ℵ "est" un espace de Hilbert 5.2 ℵ est un espace "fractal dimensionnel" 5.3 Formalisation

L'aspect multidimensionnel des concepts

• Formalisation : le concept est une boule à n dimensions (voisinage).
• Les concepts dépendent des langues => la notion de voisinage.

Formalisation des liens entre concepts

Introduction du deuxième type d'objets

Difficultés de formalisation

• Règles qui peuvent être topologiques, mais aussi discrètes
• La non identité du concept avec lui-même => introduction des plans de raisonnements, espaces de projection
• La projection des liens entre concepts
• Généralités sur la réduction dimensionnelle

Les lois d'échelles en concepts

• Les plans se projettent les uns sur les autres => simplification pour raisonnement ; parcours dans les liens d'inférence
• Le concept global n'est souvent connu que par la série de ses projections (phénomènes)
• Le concept est bâti par agrégation de projections différentes => généralisation dimensionnelle et perte de spécificité
• Un concept est composé d'autres concepts (discrets mais pouvant être vus comme des projections)

En cours

ℵ "est" un espace de Hilbert

• H espace engendré par P, base des nombres premiers (hormis 1).
• P est une famille orthonormale de H. P est libre.
• ∀ x dans H, ∃ (k_i)_{i ∈ ℵ} : x = ∏_{i ∈ ℵ} p_i^k_i.

De fait, ℵ est engendré par ∪_{i ∈ ℵ}P_i (sous base avec les i premiers nombres premiers), alors que P engendre ℵ ∪ {∞} sachant que {∞} est insuffisant pour décrire les typologies de divergence des objets mathématiques générés par P et non éléments de ℵ.

ℵ est un espace "fractal dimensionnel"

Tout n de ℵ peut être associé à un vecteur de composantes sur P.

On définit la fonction f₁ :

• f₁ : ℵ → ℵ^∞,
• n → (n₁, ..., n_M, 0, 0, ...) tels que n = ∏_{i ∈ ℵ}P_i^n_i.

f₁ est la première transformation.

Cas particulier. n a M composantes sur P, n_i. Chaque n_i a M_i composantes sur P. Cela exhibe le problème de définition entre composante et vecteur. Nous sommes dans un espace qui est spécial, car les "scalaires" sont aussi des vecteurs du même espace. Donc l'algèbre linéaire ne s'applique pas vraiment. Cela montre aussi le problème de la "nature" de l'opérateur.

Soit un espace E. On a ∃! (n_i) : n → (n_i). n est un "arbre".

Exemple : n = 2¹⁰⁰¹ + 3²⁵⁰ + 13¹²² + 17²⁴.

Formalisation

Soit C, l'espace des concepts. C est de dimension finie N.

Tout élément de C possède des "composantes" qui sont des "hyperformes".

Soit P, l'ensemble des espaces inclus dans C tels que dim(P) < N. On notera P^k, un élément de P de dimension k. Tout concept de C peut se projeter sur P^k.

Soit :

• c₁ ∈ C ;
• c₁ :