Poincaré et l'intuitionnisme

Un article de Caverne des 1001 nuits.

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Poincaré, philosophe et mathématicien français, participa au début du XXème siècle au grand débat sur l'intuitionnisme issu du débat sur les fondations des mathématiques. Depuis la fin du XIXème, Russel, mathématicien anglais, et Hilbert, mathématicien allemand, viennent de publier deux traités, respectivement Les principes des mathématiques (1903) et Les fondements de la géométrie (1899). Tous les deux veulent remettre en cause l'intuitionnisme de Kant qui stipule entre autres que le temps et l'espace nous sont donnés comme des objets synthétiques a priori.

Poincaré est un fervent défenseur de l'intuitionnisme, notamment au travers du principe d'induction, que l'on nomme de nos jours « récurrence ». Il est un des acteurs majeurs du débat qui porte autour des fondations des mathématiques et oppose les logiciens comme Couturat ou Russel (ayant des positions parfois différentes) et les mathématiciens dont plusieurs se frottent à la logique (Zermelo, Hilbert, entre autres) afin de savoir qu'est-ce qui, dans tous les modèles de fondation logique des mathématiques, est axiome et ce qui ne l'est pas.

Sommaire 1 Le problème de la définition 2 Kant vu par Poincaré 3 Poincaré et le principe d'induction 4 Du syllogisme comme élément structurant 5 La notion d'infini 6 Nature et existence des objets et sens des symboles de relations 7 Conclusion 8 Notes

[modifier] Le problème de la définition

Poincaré pose comme première question le problème de la définition versus l'axiome. Il tient absolument à différencier les deux concepts qui tiennent, fondamentalement, à des problèmes d'existence. Cette finesse de l'analyse est exceptionnelle à cette époque où les deux notions sont souvent confondues. Voilà ce qu'en substance, Poincaré explique.

Pour lui, l'axiome est une hypothèse non démontrable, admise comme étant vraie, le plus souvent en liaison avec une intuition que nous avons des choses du monde. Le cas de la définition est tout à fait différent : la définition est posée comme un axiome mais elle a cela de différent avec l'axiome que l'on doit démontrer qu'elle n'est pas contradictoire avec les axiomes. La définition intervient donc en second lieu après l'axiomatique dans laquelle on travaille, et charge au logicien ou au mathématicien de démontrer qu'elle ne contredit pas les axiomes posés au préalable.

En un sens, lorsqu'il est démontré que la définition n'est pas contradictoire avec l'axiomatique de base, la définition est jugée recevable ou acceptable, sachant que Poincaré admet que l'on puisse user de définitions qui, un jour peut-être, seront démontrées comme étant contradictoires avec l'axiomatique. Il n'y a donc pas dans la définition, ce caractère axiomatique : elle est un objet des mathématiques soumis aux lois des mathématiques et sa considération peut évoluer.

Ce point montre que Poincaré est un esprit d'une force et d'une conviction exemplaire car ce dernier rappelle plusieurs points fondamentaux :

• que les mathématiques existent et qu'elles mènent à des résultats tangibles, bien que les fondations logiques de ces dernières soient et restent inachevées ou du moins fortement débattues ;
• que le rôle du mathématicien est de se méfier de certains objets logiques et de savoir user de son intuition pour douter de certains concepts, en particulier celui de l'infini ;
• que remettre en cause une hypothèse menant à une définition, si cette remise en cause est argumentée et licite (par exemple par la découverte d'un contre-exemple), est une occasion majeure pour un mathématicien de faire une grande découverte et de faire progresser la science.

Ce point de vue non affectif est tout à fait étonnant, notamment dans le cadre de l'étude du principe d'induction (voir plus bas), mais aussi dans le cadre de la théorie des transfinis cantoriens, théorie dont Poincaré doute au plus haut point.

Cette remise en situation de l'intuition au sein des fondements même des mathématiques et de la logique font de Poincaré quelqu'un d'assez exceptionnel à son époque dans la mesure où, contrairement à beaucoup d'autres mathématiciens et logiciens, il tente de montrer à la communauté scientifique comment l'intuition peut être présente dans la science dès ses prémisses.

En ce sens, le point de vue de Poincaré est éminemment kantien.

[modifier] Kant vu par Poincaré

Cependant, la lecture de Kant par Poincaré est très teintée du point de vue mathématicien et finalement beaucoup moins du point de vue du philosophe, ce qui est loin d'être un reproche au mathématicien. Le distinguo est frappant quand Poincaré nous propose le raisonnement suivant : Kant s'est trompé à propos du temps et de l'espace et du fait qu'ils nous sont donnés comme des objets synthétiques a priori ; car, poursuit Poincaré, comment aurions-nous pu découvrir les géométries non euclidiennes si ne serait-ce que l'espace était une donnée synthétique a priori ? Nous aurions dû aboutir à un blocage dû au fait que l'espace dans lequel nous évoluons est a priori euclidien (ce qui resterait à débattre) et que nous ne pouvons concevoir un espace de nature différente.

On sent, dans ce raisonnement par l'absurde, la patte du mathématicien. Kant peut néanmoins être lu autrement et il est étonnant que Poincaré se satisfasse d'une lecture dans laquelle il interprète le concept même d'«objet synthétique a priori» d'une manière plus littérale qu'il ne le fait ensuite en parlant du principe d'induction.

Cela est certainement dû au fait que Poincaré travaillait beaucoup dans les sciences physiques qui, à l'époque, commençaient de reconsidérer les notions d'espace et de temps. Ces deux notions, centre de la première partie de la Critique de la raison pure, étant revisitées, on pourrait voir dans cette lecture de Poincaré une volonté de ne pas se laisser influencer trop par des lectures hâtives de Kant, et donc de forcer un peu le doute afon de permettre l'émergence des espaces non euclidiens en relativité.

Car, si l'on veut prendre la peine de lire Kant de manière moins littérale, lorsque ce dernier parle de d'« objet synthétique a priori », il nous parle de la subjectivité de la perception du temps et de l'espace partagée par tous les hommes, ce qui est tout à fait différent de la façon qu'a Poincaré d'interpréter le concept. Poincaré a éludé, peut-être même volontairement, pour que la communauté scientifique de l'époque comprenne bien où allait la science, la dimension subjective. Kant nous dit seulement que la perception intuitive, la dimension immédiate du temps et de l'espace est donnée a priori, mais non qu'on ne pourra jamais concevoir d'autres modalités spatiales ou temporelles. Le modèle proposé par Kant accepte la possibilité d'existence d'autres mathématiques, dans la mesure où l'intuition se manifestera d'une autre façon. Il est clair que les géométries riemanniennes ou hyperboliques sont tout de même relativement difficiles à appréhender autrement qu'en faisant des schémas ayant pour but de faire appel à l'intuition que nous avons de notre réalité euclidienne. C'est donc en comparant avec notre réalité que nous pouvons comprendre que d'autres géométries violant les postulats d'Euclide puisse exister.

D'une manière générale, il y a toujours chez Kant une forte composante psychologique, même si cette dernière se place dans l'espace abstrait des connaissances données à tous les humains de la planète. Kant a, en un sens, fondé la possibilité de la psychanalyse qui est tout ce qui n'est pas couvert par la Critique de la raison pure. Pour en revenir à l'intuitionnisme, la perspective kantienne fonde véritablement l'intuitionnisme mathématique en proposant que quelque soient les modèles théoriques, notre intuition repose sur des analogies avec notre perception du réel.

Poincaré a donc une lecture parfois contestable de Kant, même s'il reste fondamentalement kantien la plupart du temps et que sa défense du concept synthétique a priori est d'une fermeté exemplaire surtout au travers de son analyse du principe d'induction.

[modifier] Poincaré et le principe d'induction

Pour Poincaré, le principe d'induction est le cœur du problème de fondation des mathématiques. Alors que certains logiciens et mathématiciens veulent le voir comme une définition, voire comme un théorème que l'on peut démontrer, Poincaré démonte systématiquement toute tentative de démonstration en montrant qu'un appel à l'intuition (et par conséquent pour lui à l'acceptation du principe d'induction) vient fausser la démonstration qui dès lors utilise dans son cheminement le résultat qu'elle a pour but de démontrer.

Rappelons en quelques lignes le principe d'induction (autrement nommé récurrence) :

• considérons une série de proposition A_n pouvant chacune être vraie ou fausse ;
• prenons A₀ et supposons qu'elle soit vraie ;
• pour un n>0, si A_n est vraie implique A_n+1 est vraie, alors pour tout n, A_n est vrai.

Poincaré, aux environs de 1905, pointe le principe d'induction comme étant le lieu de prédilection où l'intuition s'exprime dans les fondements même des mathématiques. Il démontre que donner ce principe pour définir les entiers est une tautologie (les entiers étant indexés sur eux-mêmes^[1]). Dans les commentaires qu'il fait des ouvrages de Russel, de Hilbert, de Peano, de Zermelo et de Couturat, Poincaré montre qu'on ne peut démontrer le principe d'induction, que ce principe n'est pas une définition car on ne peut pas montrer qu'il est non contradictoire avec toute axiomatique logique, et propose qu'il soit considéré comme l'axiome par excellence dans lequel le raisonnement en tant qu'il est intuitif est présent dans les fondations des mathématiques.

Sa position est étonnante de finesse car il ne va pas jusqu'à admettre l'existence d'objets transfinis de type α₀ = card ℵ. Il indique même qu'il appartient à l'intuition de chacun de savoir si ces symboles relatifs à la caractérisation de l'infini sont acceptables ou non.

A l'époque, que ce soit Couturat, Russel ou même Zermelo, des tentatives multiples de démonstrations de ce principe d'induction se succèdent afin de fonder les mathématiques sur la logique. Poincaré va jusqu'à ironiser sur le caractère toujours incomplet et insatisfaisant des modèles logiques axiomatique même s'il reconnaît à la plupart des auteurs, Russel le premier, de très grandes avancées dans le domaine. Il considère que d'une certaine façon, le problème se mord toujours un peu la queue et que le fait de vouloir supprimer le paramètre intuitif de la logique est irrémédiablement voué à l'échec.

Nous allons dans ce qui suit parler très brièvement de points de détail qui pourraient permettre une évolution de la vision du problème, au travers notamment du fait que Poincaré fait parfois lui aussi quelques raccourcis faciles.

[modifier] Du syllogisme comme élément structurant

La première chose que l'on peut dire est que Poincaré se fait l'écho du «stérile enchaînement de syllogismes» que l'on peut attendre de l'application du principe d'induction basé sur des axiomes en nombre limité. Cette conception montre le problème que les mathématiciens du début du siècle se posaient quant à la possibilité de découvrir « automatiquement » des théorèmes basés sur l'application de ce principe d'induction à toutes les combinaisons des axiomes. Poincaré fait à ce moment une approximation dans son raisonnement, approximation qui est corroborée par la vision qu'ont les mathématiciens de l'époque comme quoi le langage naturel est moins puissant que le formalisme mathématique.

L'approximation est la suivante : Poincaré soutient que le langage naturel est moins puissant et plus flou que le formalisme mathématique. Qu'il soit plus flou est une constatation générale qui paraît peu discutable (encore qu'on pourrait disserter sur les ensembles de Cantor et leur vraie sémantique en tant qu'objets. Qu'il soit moins puissant est beaucoup plus discutable comme nous allons le voir dans le syllogisme.

Car le syllogisme n'est pas seulement une forme logique qui conduit à des tautologies. Le syllogisme a aussi un rôle de structuration de la connaissance même si ce rôle est un rôle vague dans la mesure où il ne différencie pas le fait d'«être un cas particulier de» du fait d'«être contenu dans». Il y a donc intuition aussi dans le choix des membres du syllogisme, ce qui remet en cause la vision selon laquelle les syllogismes peuvent être générés automatiquement suivant des axiomes. Le syllogisme est représentation. Lorsque qu'on écrit :

• A₀ est vrai ;
• or A₁ est un cas particulier de A₀ ;
• alors A₁ est vrai,
  

on ne peut pas tisser de relation ensembliste classique entre A₀ et A₁. On sait seulement que A₁ est un A₀. Le syllogisme exhibe donc une structure des objets que l'on ne trouve pas dans la notation mathématique^[2].

[modifier] La notion d'infini

La deuxième chose est relative à la notion de l'infini qui est sous-entendue dans le principe d'induction ^[3].

Ce principe, en lui-même, ne contient pas de notion d'infini, même si, par intuition, on peut imaginer ce que signifie «∀ n» et envisager une répétition infinie des étapes. Quelque part, ce principe, aussi appelé récurrence, ne fait que de légitimer une démarche intuitive pas à pas. Pourtant, de nombreux mathématiciens y voient un moyen commode de définir l'ensemble des entiers naturels, ce qui est absurde. Plus que cela, ce principe s'est chargé avec les décennies d'une vision de l'infini.

Ainsi, considérons la suite : U_n = n cela pour tout n entier naturel. On écrira : U_n → ∞ et on le démontrera par récurrence en réussissant à trouver pour tout entier k un entier k+1 supérieur et appartenant à la suite U. Il y a là utilisation erronée du principe d'induction, extrapolation due, spécialement à l'introduction du symbole «∞»^[4].

Poincaré, sur ce point, parle du théorème de Bernstein et de sa démonstration par récurrence. Il insiste sur le problème de fond de généralisation du cas d'ensembles de cardinaux fini au cas d'ensembles de cardinaux infinis. Cette généralisation n'est pour lui que le fruit d'une intuition qui peut être ou pas ressentie par tout mathématicien. Poincaré pensera toujours à la possibilité d'éliminer la notion d'infini de notre représentation mathématique. Disons qu'avoir cette représentation possède des avantages indéniables, mais qu'il faut savoir que dans le cas de l'arithmétique (qui est sur l'infini très différent de celui de l'analyse où intégrer des fonctions sur des intervalles infinis est souvent très commode), Poincaré note que cet usage de l'intuition de l'infini peut se révéler dangereux.

[modifier] Nature et existence des objets et sens des symboles de relations

Cette partie là est finalement au cœur du problème de la logique, des fondations des mathématiques et même d'une certaine façon de l'analyse scientifique du monde. Mon but est ici de ne donner que quelques pistes suite à l'exposé du contexte intuitionniste dans lequel Poincaré a travaillé.

Poincaré insiste sur la notion d'existence qui est finalement un des problèmes fondamentaux de la logique. Pour raisonner logiquement, nous dit-il, il faut s'assurer ou admettre que l'objet que l'on manipule existe. Cela est fondamental, autant pour les mathématiques que pour la philosophie. Poincaré indique ironiquement que raisonner sur des objets qui n'existent pas peut mener à des résultats faux, ce qui n'est pas très grave, mais aussi vrais, ce qui l'est beaucoup plus. Car, en se basant sur des objets qui n'existent pas, on peut tout démontrer et son contraire^[5].

Le point qu'à mon avis négligent souvent les mathématiciens et les logiciens est le moyen de typer les objets selon leur nature et de constituer des problèmes avec une hétérogénéité de types d'objets (on pourrait alors parler de complexité au sens philosophique). Car, comme Poincaré le disait au début du siècle, et je crois que cette position était unanimement partagée entre les scientifiques, il est souvent admis que l'objet ne peut être appréhendé qu'au travers de ses relations avec les autres objets. Cela peut nous rappeler l'optique de la phénoménologie de Husserl, contemporaine avec la controverse intuitionniste, pour laquelle Poincaré avait des doutes formels quant à l'approche externe des objets étudiés, dus probablement au fait qu'en tant que mathématicien féru de physique, il voyait en l'approche phénoménologique un manque de conceptualisation des relations entre phénomènes.

Il n'en reste pas moins que le typage des objets mathématiques est encore exprimé en mathématiques par des propriétés respectées par un sous-ensemble des objets étudiés. Nous sommes donc face à un problème de référentiel. Considérons l'ensemble A contenant a₁, a₂ et a₃. Si a₁ vérifie une propriété P que ne vérifient pas les autres éléments de A, on définira l'ensemble B composé des éléments de A tels que P soit vérifiée, B étant limité au singleton a₁. Donc, au lieu de typer l'objet a₁ différent des autres éléments de A, on construit une entité B, sous-ensemble de A, ce qui est tout à fait différent dans l'approche. On ne caractérise a₁ que par rapport à B ou par rapport à A et P, mais non par rapport à un attribut structurel de a₁. On dérive immédiatement dans la théorie des ensembles.

Cette optique de conceptualisation induit automatiquement un problème de référentiel mais aussi une intervention prédominante de la théorie des ensembles. Or, un des problèmes de la logique qui devait fonder les mathématiques au début de siècle était relatif à la notion de «classe» donc d'ensembles et aussi à la notion de «classes de classes» qui est elle beaucoup plus vague lorsque l'on type les objets.

Car, si l'on reprend notre exemple d'avant , lorsqu'on écrit que a₁ ∈ A, est-ce la même chose que de dire a₂ ∈ A ? Le symbole «∈» peut avoir dans ces deux propositions un sens différent du fait que a₁ ∈ B et non a₂. En d'autres termes, s'intéresser au typage des objets implique s'intéresser au typage des relations. Il s'agit en quelque sorte de construire des structures d'objets qui vont au delà de la notion passe-partout classique d'ensemble et d'appartenance.

Comme dernier exemple et pour étendre l'exemple exposé ci-dessus, nous considérerons P(A), l'ensemble des parties de A, un ensemble d'ensemble. On écrit B ∈ p(A). Là encore le symbole «∈» n'a pas la même signification que dans la proposition a₁ ∈ B, car les objets ne sont pas de même nature.

Si l'on combine ces incertitudes sur la nature des objets et des relations entre objets, sur la représentation mathématique de ces notions avec les problèmes d'existence d'objets incongrus (comme les transfinis), nous pourrions ironiquement, en paraphrasant Russel, nous demander ce qu'il reste des mathématiques. Bien entendu, à l'instar d'un Poincaré, le but n'est pas de viser à ré-écrire l'ensemble des mathématiques, mais à attirer l'attention sur un modèle de notation qui, a la base, pose des problèmes de type^[6]. Ce modèle pourrait être vu comme étant hérité de la certitude que le langage mathématique est plus puissant que le langage courant ce qui dans le cas de la théorie des ensembles ou de la logique est tout à fait contestable.

[modifier] Conclusion

Poincaré a toujours été intuitionniste et a toujours pensé qu'une machine théorique aurait bien du mal à démontrer automatiquement des théorèmes, ne serait-ce que parce que ces derniers ont besoin de définitions et que ces définitions sont le fruit d'une réflexion intuitive sur les objets qui gagnent à être étudiés.

Poincaré était un modèle de doute et son ouverture aux autres sciences et son humour en font un des personnages les plus respectables de l'histoire des sciences.

[modifier] Notes

1. ↑ Cf. De la structuration de l'ensemble des entiers naturels.
2. ↑ Cf. Arithmétique et nature des objets.
3. ↑ Cantor deviendra fou suite à ses travaux sur le transfinis.
4. ↑ Attribué à John Wallis en 1656.
5. ↑ Cf. [(Le concept creux]].
6. ↑ Par ailleurs résolus en informatique au travers des langages de programmation orientés objet.