Arithmétique et nature des objets

Un article de Caverne des 1001 nuits.

Cet court article, faisant suite à la structuration de l'ensemble des entiers naturels, se propose d'envisager les différences structurelles qui peuvent exister entre un ensemble discret comme ℵ et un ensemble continu comme ℜ.

Sommaire 1 ℵ, ℜ et espace vectoriel 2 La vision de l'analyse orientée objet 3 Le flou autour de la notion d'inclusion 4 Conclusion

ℵ, ℜ et espace vectoriel

Dans l'article sus-cité, il est exposé que le fait que tout entier se décompose en produit de facteurs premiers de manière unique pouvait faire penser à une structure d'espace vectoriel. Une des différences fondamentales avec un espace de ce type est que, dans &alefsym, le changement de base possible au sein d'un espace vectoriel n'est pas possible. Tout entier possède une description unique sur la «base» des nombres premiers et ne peut être décomposé autrement. L'ensemble des nombres premiers, que nous nommeront P, est donc générateur de &alefsym, mais aussi, vis-à-vis du produit, la seule base génératrice. Or, au sein de ℜ, cette loi de décomposition n'a pas de sens.

Le problème qui se pose alors est de considérer qu'un nombre premier est un nombre comme un autre ayant simplement la caractéristique de ne se décomposer que par l'identité avec lui-même. En effet, si on écrit :
∀ n ∈ ℵ, ∃ k ∈ ℵ, ∃ i₁, i₂, ..., i_k ∈ ℵ^k : n = ∏_j∈[1..k] p_j^i_j,
le résultat de la décomposition de p_j est :
p_j = p_j¹
ce qui apparaît comme une tautologie. Dans un espace vectoriel tout vecteur d'une base peut s'exprimer au moyen d'une décomposition sur une autre base, ce qui n'est pas le cas dans ℵ.

La vision de l'analyse orientée objet

Si nous avions à modéliser cette décomposition en analyse orientée orientée objet, nous serions tentés, non de considérer qu'il n'existe qu'un type d'entiers naturels, mais plutôt de considérer qu'il en existe deux, l'objet «entier naturel généré» étant différent de l'objet «entier naturel générateur». C'est par cette différence intrinsèque de nature dans les objets manipulés que les entiers premiers se distinguent des autres entiers. Les entiers premiers sont quelque part des entiers singuliers, alors que les éléments de ℜ sont réguliers (à part peut-être 0).

Or, en arithmétique, l'entier premier est un entier avec une caractéristique négative, celle de ne pas être divisible par d'autres entiers hormis 1 et lui-même. La comparaison entre la modélisation orientée objet, issue de l'informatique, et l'arithmétique, montre que le modèle de représentation informatique est plus riche que celui de l'arithmétique, car il permet de distinguer structurellement des entités voisines.

On pourrait même structurer en analyse orientée objet de manière plus complexe la relation entre les sous-types en définissant par exemple les concepts suivants :

• n objet virtuel présentant les interfaces d'un nombre entier naturel quelconque (c'est à ce niveau que les propriétés attachés à tous les nombres naturels interviendraient),
• p objet concret, dérivant de n, nombre entier premier,
• m objet concret dérivant de n, nombre entier non premier.

S'exhibe alors une relation structurelle qui dépasse la relation ensembliste classique P ⊂ ℵ, car les objet sont différents structurellement, et non envisagés comme des objets affublés de propriétés différentes.

Le flou autour de la notion d'inclusion

L'analyse orientée objet permet aussi de lever le flou de l'inclusion ensembliste en étant plus proche du langage.

Prenons l'exemple suivant: on appelle A l'ensemble des parties d'une voiture. A sera composé de quatre "roue", un "moteur", etc. On écrira, si R1 est une roue de A, R1 ∈ A. On dira en analyse orientée objet que la classe A «agrège» la classe R car A est composée notamment de quatre instances de R.

Prenons un autre exemple ou B est l'ensemble des véhicules roulants. On notera qu'une voiture est un véhicule roulant et donc que pour le concept voiture V, V ∈ B. Or, en analyse orientée objet, on dira que «V dérive de B» car V est un cas particulier de B, est une spécification de B.

Les notions d'agrégation et de dérivation se notent en arithmétique toutes les deux de la même façon, ce qui est une source critique d'erreur ou d'incompréhension du problème. De ce côté, l'analyse orientée objet est plus proche du langage naturel où l'on peut distinguer "se compose de" de "est un cas particulier de".

Conclusion

C'est donc de l'approche ensembliste dans sa globalité qu'il est question, notamment au sein de la théorie des ensembles et par conséquent de l'arithmétique. Ces liens structurels entre objets ne semblent pas fondamentalement analysés dans les mathématiques où les espaces contiennent très souvent des objets homogènes et non une cohabitation d'objets hétérogènes structurellement distincts de par une propriété fondamentale. Le règne des lois applicables aux objets génériques convient très bien à l'analyse (quoique dans les équations différentielles des fonctions de plusieurs variables, on sache bien que la ou les fonctions sont souvent inutiles ou impossibles à connaître et que l'on préfère connaître les propriétés de certaines familles de solutions) mais pas aux ensembles discrets. Le fait de remettre en perspective dans les mathématiques un autre mode de représentation des problèmes singuliers pourraient ouvrir d'autres portes à la recherche future.